NEM EUKLIDESZI GEOMETRIK
Euklidesz
Kr. e. 300 krl szletett grg matematikus, akit ksbb a geometria atyjaknt is emlegettek. Platn akadmijn tanult Athnben. Az alexandriai matematikai iskola megalaptja.  a hres kori matematikaknyv, az Elemek szerzje, amelyben sszefoglalta a matematika alapjait (euklideszi geometria). Az Elemekben a geometriai objektumok tulajdonsgait viszonylag kis szm aximbl vezeti le, gy a modern matematika axiomatikus mdszernek ttrje (esetleg ihletje) volt. Egyb mvei a perspektvrl, kpszeletekrl, szfrikus geometrirl szlnak. Szletsnek ve s helye, valamint hallnak krlmnyei ismeretlenek.

A geometrihoz nem vezet kirlyi t!
(Euklidesz)
Euklidesz knyvben definilja az egyenesek prhuzamossgt. Brli mr az korban gy reztk, hogy a XI. axima tlsgosan bonyolult, ezrt megprbltk a tbbi alapvets segtsgvel bebizonytani. 

A XI. axima (5. posztultum)

Ha a skban kt egyenest egy harmadik gy metsz, hogy a ltrejv bels szgek sszege a harmadik egyenes egyik oldaln kisebb kt derkszgnl, akkor az els kt egyenes metszi egymst.

Ha a skban meg van adva egy egyenes s egy rajta nem fekv pont, akkor az utbbin pontosan egy olyan egyenes halad t, amely az adott egyenest nem metszi.

Brmely hromszg bels szgeinek sszege kt derkszggel egyenl.

vszzadokon t sokan megksreltk, hogy a prhuzamossgi aximt bebizonytsk Euklidesz tbbi aximja alapjn. Mindezek a bizonytsi ksrletek lnyegben vve ugyanazt az utat kvettk: kiindultak abbl a feltevsbl, hogy nem igaz a prhuzamossgi axima lltsa s ebbl prbltak olyan kvetkezmnyeket levezetni, amelyek elbb-utbb ellentmondsba kerlnek a tbbi aximval.
Bolyai Jnos s Lobacsevszkij (Gausshoz hasonlan) ugyanazt a defincit hasznljk: az AM s BN flegyenest prhuzamosnak mondjuk, ha minden A-bl kiindul s a BAM szgtartomnyban halad flegyenes metszi a BN flegyenest, de AM s BN nem metszi egymst.

Bolyai Farkas (17751856)
Elszegnyedett nemesi csaldbl szrmazott. Nagyenyeden tanult, majd a kolozsvri Reformtus Kollgiumba iratkozott be.  1796-ban iratkozott be a gttingeni egyetemre. letre szl s flszzados levelezsben megnyilvnul bartsgot kttt az ugyancsak ott dikoskod Gauss-szal. Matematikai eredmnyeit Tentamen cm mvben foglalta ssze. Sok fls energit pazarolt a prhuzamossgi posztultum bizonytsra. Ebbli sikertelensge annyira letrte, hogy finak tartott lecki alkalmval igyekezett kikerlni ezt a problmt.

Bolyai Jnos (18021860)
Bolyai Jnos Bolyai Farkas fia. Matematikai adottsgai korn megmutatkoztak. Ngyesztends korban tbb geometriai testet ismer. Bolyai Jnosrl nem maradt arckp. Az egyetlent a hagyomny szerint  maga semmistette meg. Tizenkt ves korban felvettk a marosvsrhelyi Reformtus Kollgiumba. 1830-ban tadta atyjnak az Appendix latin nyelv kziratt, amely vgl 1832-ben mint a Tentamen els ktetnek fggelke meg is jelent. Bolyai Jnos magnyosan, mindenkitl elhagyatva halt meg.

Bolyai Appendixben a prhuzamossg elbb megfogalmazott defincijbl kiindulva sorra teljes szabatossggal igazolja azokat a tteleket, amelyek a prhuzamossgi axima felttelezse nlkl lerjk a geometriai alakzatok sszes lnyeges sszefggseit, tbbek kztt a trigonometria kpleteit. A tr olyan abszolt igaz tudomnyt fejti ki, amely fggetlen attl, igaz-e vagy hamis Eukleidsz prhuzamossgi aximjnak lltsa.
Lobacsevszkij a maga elmlett Bolyaival csaknem egy idben dolgozta ki, s valamivel korbban, 1829-ben kzlte nyomtatsban.
Az euklideszi geometria tlsgosan ktdik val vilgunkhoz. A bonyolultabb vilgkp ms geometrit ignyel. Pldaknt tekintsnk a Fldn kt szlessgi krt, melyek az szaki-sarkon tallkoznak. A gmbfellet kis tartomnyban az euklideszi skgeometria rvnyesl, de az egsz gmbfelletre mr a ttelek nem rvnyesek. A nem euklideszi geometrit is igazn csak akkor rtette meg s fogadta el a tudstrsadalom, amikor trvnyszersgeit szemlletes modelleken lehetett bemutatni.
Nyikolaj I. 
Lobacsevszkij (17921856)
Az orosz szerzk a nem euklideszi geometria szletsnek dtumt 1826. februr 11-re teszik, amikor Lobacsevszkij a kazanyi egyetemen ismertette gondolatait. Tzisei 1829-ben lttak napvilgot. Lobacsevszkij ekkor a kazanyi egyetem rektora volt. A tudstrsadalom ennek ellenre az  eszmit is csak nehezen fogadta be, lete vgig harcolt mve elismertetsrt.

Carl Friedrich Gauss
(17771855)
Nmet matematikus s termszettuds, aki a tudomnyok szmos terletnek fejldshez jrult hozz. Gausst szintn izgatta a prhuzamossgi axima. Bolyai Farkasnak kldtt, Bolyai Jnost mlyen elkesert levelben majdhogynem prioritsi ignyt jelentett be a prhuzamossgrl alkotott tzisekrl. Gauss azonban lete vgig egyetlen sort sem kzlt nyomtatsban ilyen irny gondolatairl. Mindezek alapjn az j geometrit trgyilagosan BolyaiLobacsevszkij-geometrinak nevezhetjk.





Nem euklideszi geometria
A prhuzamosok tnyleg tallkoznak a vgtelenben?
Az egyenes vonal hromszg bels szgeinek sszege
Az euklideszi geometriban lland mennyisg, 180o (radin, gyakori rgi jellssel 2R, azaz kt derkszg).
A hiperbolikus
(Bolyai - Lobacsevszkij)  nem euklideszi geometriban vltoz mennyisg, de hatrozottan kisebb, mint 180o s bizonyos extrm esetekben lehet 0o is. 
A szfrikus (Riemann)  nem euklideszi geometriban vltoz mennyisg, de hatrozottan nagyobb, mint 180o s bizonyos extrm esetekben lehet 360o is.